TEMA#2
TEORÍA DE CONJUNTOS
MATERIA: ESTRUCTURAS DISCRETAS
DOCENTE:
ESTUDIANTE: JAIME JUNIOR AGUILAR LEAÑOS
CARRERA: ING. DE SISTEMAS
TURNO: MAÑANA
TEMARIO
UNIDAD I
TEMA: LÓGICA MATEMÁTICA
1.-Definición y Notación
2.- Pertenencia
3.- Notación de conjuntos numéricos
4.- Determinación de los Conjuntos
5.- Ejercicios
7.-Cardinalidad
UNIDAD II TEORÍA DE CONJUNTOS
1. Definición y Notación:
Un conjunto es una relación cualquiera de objetos, números o símbolos, la cual puede ser finito o infinito. Los conjuntos generalmente se representan con letras mayúsculas del alfabeto.
Ejemplo:
Conjunto de valores {a, e, i, o, u} = Conjunto Finito.
Conjunto de números {1, 2, 3,. . . . .} = Conjunto infinito
¿Cómo los representamos?
Seguramente has visto estos diagramas que son muy conocidos. Se llaman diagramas de Venn – Euler y son muy útiles a la hora de visualizar y ayudar a comprender las ideas principales de esta teoría de conjuntos.
2. Pertenencia:
Es un símbolo que nos permite relacionar los elementos con un conjunto y se representa por: “ ” (pertenece)
Ejemplo:
u A (u pertenece a: A)
u A (u no pertenece a: A)
Otros símbolos de uso frecuente son:
/ Para expresar “Tal que”.
Para expresar “Mayor que”.
Para expresar “Menor que”.
3. Notación de conjuntos numéricos:
Las notaciones usuales para caracterizar conjuntos numéricos son las siguientes:
a) Conjunto de números Naturales: N= {0, 1, 2, 3…..}.
b) Conjunto de números Enteros: Z = {…,-2, -1, 0, 1, 2…..}.
c) Conjunto de números Racionales: Q = {…,- , ,0, 1, 2…..}.
d) Conjunto de números Irracionales: I ={…, , , ,1, 2…..}.
El conjunto de números reales se denota con la letra “R” y está formado por la unión de los números racionales e irracionales.
R = {N Z Q, }
R = {Q I}
e) Conjunto de números Imaginarios i = {…, , ,…..}.
f) Conjunto de números complejos C = {…a, a+bi,…..}.
4. Determinación de un conjunto:
Puede ser determinado de 2 maneras:
a) Por Extensión.- Se dice que un conjunto está determinado por extensión si y solo si se nombran todos los elementos que los constituyen. En este caso se escriben sus elementos entre 2 llaves, por ejemplo:
A ={2, 4, 6, 8, 10} conjunto de pares de 1 a 10.
Está escrito en extensión ya que se pueden enumerar uno a uno sus elementos del conjunto.
b) Se dice que un conjuntos está determinado por comprensión si y solo si se da la propiedad o propiedades que caracterizan a todos los elementos del conjunto.
conjuntos especiales
llamaremos conjuntos especiales aquellos conjuntos que se caracterizan por el numero de elementos, entre ellos tenemos conjuntos unitario, conjunto vació, y conjunto universa.conjuntos unitario
es un conjunto que solo tiene solo un elemento ejemploA=(x/x2=0)(0)conjunto vació
el conjunto vacio es aquel conjunto que carece de elemento y se denota por () o 0ejemploA=(xER/x2+1=0)A=()conjunto universal
el conjunto universal llamado universo o reverencial es se escogen algunos de ellos para formar otros conjuntos se denota con la letra U¿Cómo se define un conjunto?
Este es un tema que nos llevará una explicación más profunda y algo de ejemplos y ejercicios para reforzar los conceptos, pero no dudo en adelantarte por lo menos alguna definición. Existen convencionalmente dos formas de definir un conjunto en matemáticas: definir conjuntos por extensión y definir conjuntos por comprensión. En el primer caso se nombran uno a uno los elementos del conjunto y en el segundo, se da una característica que distinga a esos elementos y sólo a esos, para que se consideren pertenecientes al mismo. Te invito a estar pendiente ya que precisamente éste es el próximo tema que abordaré en relación a la teoría de conjuntos.
5.- Ejercicios
1.- Sean A ={1,2,3,4}; B ={2,4,6,8}; C ={3,4,5,6}
Hallar a).- A U B; b).- A U C; c).- B U C; d).- B U B
Solución:
A U B = {1,2,3,4,6,8}
A U C = {1,2,3,4,5,6}
B U C = {2,4,6,3,5}
B U B = {2,4,6,8}
2.- Dado el conjunto A = {6,2,8,4,3} encontrar todos los subconjuntos de A que se puedan construir con sus elementos, es decir el conjunto potencia.
2A ={ {6},{2},{8},{4},{3},{6,2},{6,8},{6,4},{6,3},{2,8},{2,4},{2,3},{8,4},{8,3},{4,3},
{6,2,8},{6,2,4},{6,2,3},{6,8,4},{6,8,3},{6,4,3},{2,8,4},{2,8,3},{2,4,3},{8,4,3},{6,2,8,4},{6,2,8,3},
{2,8,4,3,},{6,8,4,3,},{6,2,4,3,},{6,2,8,4,3},{ }}
6.- Leyes de operaciones con conjuntos
Existen varias operaciones básicas que pueden realizarse
para, partiendo de ciertos conjuntos dados, obtener nuevos conjuntos:
- Unión: (símbolo ∪) La unión de dos conjuntos A y B, que se representa como A ∪ B, es el conjunto de todos los elementos que pertenecen al menos a uno de los conjuntos A y B.
- Intersección: (símbolo ∩) La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∩ B de los elementos comunes a A yB.
- Diferencia: (símbolo \) La diferencia del conjunto A con B es el conjunto A \ B que resulta de eliminar de A cualquier elemento que esté en B.
- Complemento: El complemento de un conjunto A es el conjunto A∁ que contiene todos los elementos que no pertenecen a A, respecto a un conjunto U que lo contiene.
- Diferencia simétrica: (símbolo Δ) La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B es el conjunto A Δ B con todos los elementos que pertenecen, o bien a A, o bien a B, pero no a ambos a la vez.
- Producto cartesiano: (símbolo ×) El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el conjunto A × B de todos los pares ordenados (a, b) formados con un primer elemento a perteneciente a A, y un segundo elemento b perteneciente a B.
- {1, a, 0} ∪ {2, b} = {2, b, 1, a, 0}
- {5, z, ♠} ∩ {♠, a} = {♠}
- {5, z, ♠} \ {♠, a} = {5, z}
- {♠, 5} Δ {8, #, ♠} = {5, #, 8}
- {1, a, 0} × {2, b} = {(1, 2), (1, b), (a, 2), (a, b), (0, 2), (0, b)}
8.- Cardinalidad y propiedades
El cardinal de un conjunto es el numero de elementos que pertenecen a dicho conjunto, se denotan card(A), por tanto Card(a)=26 donde A consta de las letrs del alfabeto y Card(D)=7 donde d comprende los dias de la semana.
1. A=B ↔ Card(A)=Card(B)
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2. Card(AUB) =
Card(A) + Card(B) - Card(A∩B) |
3. Card(Φ) =0
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4. Card(A’) = Card(U) - Card(A)
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5. Card(A-B) = Card(A) - Card(B)
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6. Card(AΔB) =
Card(A) + Card(B) - 2 Card(A∩B) |
7. Card(A’ UB’)= Card(U)- Card(A∩B)
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8. Card(AUB’) =
Card(U)+ Card(A∩B)- Card(B’)
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9. Card(AUBUC) = Card(A) + Card(B) + Card(C) - Card(A∩B) - Card(A∩C) - Card(B∩C) + Card(A∩B∩C)
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