Clan ☢️MAGIOS☢️BOLIVIA SCZ"

Reglas☢️
Bienvenidos alos magios.
Requisitos: No hay quien quiera es libre entrar y entregar todo de si pero al entrar ya eres miembro de la familia Magios☢️
Reglas ah seguir durante tu estadia:
1.- Respeto es vital para llegar acuerdos y buena comunicación com los del clan.
2.- Atacar guerra nos denominamos por nuestras guerras nos gusta guerrear Y tu cumplimento tus 2 ataques son vitales para conseguir esto ya que todos salimos beneficiados.
3.- Juegos del clan depende limite o objetos que hayan de conseguirlo se ponen limite de puntos esto es determinado por el lider oh algun colider.
4.- jamas expulses jugador siendo veterano si eres colider da justificacion alguna no poder expulsar de porque si si en caso tu seras expulsado.
5.- No es motel..... Una vez sales del clan. Es adios para siempre.
6.- guerra ganemos perdamos cumple 2 ataque minimo 1 esto si es determinado por lider cuando analizamos situacion de guerra y vemos que es imposible ganar se da previó aviso para que no ataquen de caso contrario prosigan con los ataques normalmente.
7.- Si eres nuevo se haran guerras de prueba esto determinara si estas acto pars guerrear las guerras dirias que se hacen con todos los miembros habilitados.
8.- Si jamas entras guerra"tienes que servir como espia" de caso contrario sera expulsado, solo queremos guerreros no niñas.
9.- No spam. Que quiere decir no promociones cosas oh invites oh insites ala gente unirse otro clan de caso contrario expulsión.
10.- como ultima regla: la guerras de pruebras se hace. Durante los juegos del clan.
Donanaciones equilibradas para Th" altos del clan, para los bajos se les ayudara hasta que consigan alto grado y puedan colaborar con las donaciones mientras tantos se sugiere que no donen...
Bueno gracias por ser parte de este clan" y si no lo eres te invitó cordialmente formar parte nuestra familia*
Somos bolivianos "Pero aceptanos quien quiera formar parte de los Magios condialmente saludos que dios los bendiga"
Fuerza ☢️MAGIOS☢️

TEMA #3

TEMA #3

  TEMA#3

                 TEORÍA DE CONJUNTOS

 MATERIA:                           ESTRUCTURAS DISCRETAS

DOCENTE:                          

ESTUDIANTE:                    JAIME JUNIOR AGUILAR  LEAÑOS 

CARRERA:                           ING. DE SISTEMAS

TURNO:                               MAÑANA

TEMARIO

UNIDAD III

TEMA:  RELACIONES 

1.-Introducción 

2.- Relaciones 

2.1.- Dominio, Imagen Relación inversa 

2.2.- Dominio R 

2.3.-Imagen R 

3.- Relación Inversa 

4.-  Propiedades de la Relación 

4.1.- Propiedad Reflexiva 

4.2.- Relación Simétrica 

4.3.- Relación Transitiva 

5.- Relación de Equivalencia 

1.- Introducción 

Nos proponesmos a precisar en términos matemáticos el concepto y la definición de la relación.

2.- Relaciones 

En la matemática,como en otras ciencias, constantemente se habla de diversas relaciones entre 2 objetos; en geometría se trata de relaciones de congruencia y de semejanza; en álgebra, de relaciones de igualdad o desigualdad numérica; en teoría de conjuntos, de relaciones de pertenencia y de inclusión. 

Consideramos A de las materias que puede cursar un estudiante en un semestre, y el conjunto B formado por los créditos de las materias sin laboratorio, es ddecir: 

               A={a,b,c,d,e } y  B={4,5,6,7}

Es claro que los elementos de A quedan asociados con los del conjunto B mediante la propiedad      P(x,y) : "x tiene crédito 

Mediante diagrama de (venn) 

           a                                4

           b                                5          

           c                                6

           d                                7

           e                  

Entonces la relación o correspondencia es el conjunto de pares ondenados 

          R={(a,6),(b,5),(c,5),(e,7)

2.1  Dominio,Imagen,Relación Inversa 

Si R《 AxB es una relación de A en B, existen dos importantes conjuntos asociados a esta relacion:dominio e imagen de R .

2.2.- Dominio de R

El dominio de R, que se describe D(R),es el conjunto de elementos en A que están relacionados con algún elemento en B.

2.3.- Imagen de R

El imagen (rango o recorrido) de R, que se describe I(R) es el conjunto de elementos en B que son los segundos elementos de los pares (x,y) € R ,

3.- Relación Inversa

La inversa (recíproca)de la relación R de A en B es la relacion "R-1 de B en A.

Relación unaria

Una relación unaria se da cuando se observa un solo conjunto, y la misma puede definirse como el subconjunto de los elementos que pertenecen al mismo y cumplen una condición determinada, expresada en la relación. Por ejemplo, dentro del conjunto de números naturales, podemos definir una relación unaria (a la cual llamaremos P) de los números pares, de manera que de todos los elementos de este conjunto, tomaremos aquéllos que respondan a dicha condición y formaremos un subconjunto, el cual comienza de la siguiente manera: P = {2,4,6,8,…}

Relación binaria

Como su nombre lo indica, esta relación matemática parte de dos conjuntos, y por lo tanto la complejidad aumenta considerablemente. Los elementos de ambos pueden relacionarse de más formas, y los subconjuntos resultantes se expresan como pares ordenados, tal como se demuestra en párrafos anteriores. En las matemáticas, esto suele estar de fondo en muchas de las funciones más comunes, que tienen como variables y y x, ya que se busca un par de valores (uno de cada eje) que permitan resolver una ecuación (que cumplan la condición).

Relación ternaria

Cuando definimos una condición que deben cumplir elementos de tres conjuntos diferentes, hablamos de relación ternaria, y el resultado es una o más ternas (el equivalente a los pares ordenados pero con tres elementos). Retomando el conjunto de números naturales, que nos permite hacer cálculos sencillos, un ejemplo de relación matemática de este tipo es aquélla en la cual a – b = c, de manera que podríamos obtener un subconjunto que comienza así: R = {(3,2,1), (4,3,1), (5,3,2), …}

4.- Propiedades de la Composición de relaciones

Son: las siguientes

4.1.- Relaciones Reflexivas

Una relación R es un conjunto A se denomina reflexiva si cada elemento X de A esta relacionado consigo mismo

4.2.- Relaciones Simétricas

Una relación R es un conjunto A es Simétrica si cualquiera que sea el par (x,y) que pertenece ala relación, entonces el par (y,x) tambien pertenece .

4.3.- Relaciones Transitivas

Una relación R, es un conjunto A,es transitiva si, cualquiera que sea los pares (x,y) y (y,z) que pertenecen a la relación,entonces el par ordenado (x,z) también pertenece a ella.

5.- Relaciones De Equivalencia

Una relación binaria R, es un conjunto A, es de equivalencia si es reflexiva simétrica y transitiva

TEMA #2

  TEMA#2

                 TEORÍA DE CONJUNTOS

 MATERIA:                           ESTRUCTURAS DISCRETAS

DOCENTE:                          

ESTUDIANTE:                    JAIME JUNIOR AGUILAR  LEAÑOS 

CARRERA:                           ING. DE SISTEMAS

TURNO:                               MAÑANA

TEMARIO

UNIDAD I

TEMA:  LÓGICA MATEMÁTICA

1.-Definición y Notación

2.- Pertenencia 

3.- Notación de conjuntos numéricos 

4.- Determinación de los Conjuntos 

5.- Ejercicios

6.-Leyes de conjuntos 

7.-Cardinalidad 

UNIDAD II                TEORÍA DE CONJUNTOS 

1.       Definición y Notación:

Un conjunto es una relación cualquiera de objetos, números o símbolos, la cual puede ser finito o infinito. Los conjuntos generalmente se representan con letras mayúsculas del alfabeto.

Ejemplo:

Conjunto de valores              {a, e, i, o, u}        =            Conjunto Finito.

Conjunto de números          {1, 2, 3,. . . . .}    =             Conjunto infinito

¿Cómo los representamos?

 Seguramente has visto estos diagramas que son muy conocidos. Se llaman diagramas de Venn – Euler y son muy útiles a la hora de visualizar y ayudar a comprender las ideas principales de esta teoría de conjuntos.

 

2.       Pertenencia:

Es un símbolo que nos permite relacionar los elementos con un conjunto y se representa por:  “ ” (pertenece)

Ejemplo:

u  A      (u pertenece a: A)

u  A      (u no pertenece a: A)

Otros símbolos de uso frecuente son:

/      Para expresar “Tal que”.

Para expresar “Mayor que”.

Para expresar “Menor que”.

3.       Notación de conjuntos numéricos:

Las notaciones usuales para caracterizar conjuntos numéricos son las siguientes:

a)      Conjunto de números Naturales:                   N= {0, 1, 2, 3…..}.

b)      Conjunto de números Enteros:                       Z = {…,-2, -1, 0, 1, 2…..}.

c)       Conjunto de números Racionales:                 Q = {…,- ,  ,0, 1, 2…..}.

d)      Conjunto de números Irracionales:                               I ={…, , , ,1, 2…..}.

El conjunto de números reales se denota con la letra “R” y está formado por la unión de los números racionales e irracionales.

R = {N  Z  Q,  }

R = {Q  I}

e)      Conjunto de números Imaginarios                 i = {…, , ,…..}.

f)       Conjunto de números complejos                   C = {…a, a+bi,…..}.

4.       Determinación de un conjunto:

Puede ser determinado de 2 maneras:

a)      Por Extensión.- Se dice que un conjunto está determinado por extensión si y solo si se nombran todos los elementos que los constituyen. En este caso se escriben sus elementos entre 2 llaves, por ejemplo:

A ={2, 4, 6, 8, 10}                   conjunto de pares de 1 a 10.

Está escrito en extensión ya que se pueden enumerar uno a uno sus elementos del conjunto.

b)     Se dice que un conjuntos está determinado por comprensión si y solo si se da la propiedad o propiedades que caracterizan a todos los elementos del conjunto.

conjuntos especiales 

llamaremos conjuntos especiales aquellos conjuntos que se caracterizan por el numero de elementos, entre ellos tenemos conjuntos unitario, conjunto vació, y conjunto universa.

conjuntos unitario

es un conjunto que solo tiene solo un elemento ejemploA=(x/x2=0)(0)

conjunto vació

el conjunto vacio es aquel conjunto que carece de elemento y se denota por () o 0ejemploA=(xER/x2+1=0)A=()

conjunto universal

el conjunto universal llamado universo o reverencial es  se escogen algunos de ellos para formar otros conjuntos se denota con la letra U

¿Cómo se define un conjunto? 

Este es un tema que nos llevará una explicación más profunda y algo de ejemplos y ejercicios para reforzar los conceptos, pero no dudo en adelantarte por lo menos alguna definición. Existen convencionalmente dos formas de definir un conjunto en matemáticas: definir conjuntos por extensión y definir conjuntos por comprensión. En el primer caso se nombran uno a uno los elementos del conjunto y en el segundo, se da una característica que distinga a esos elementos y sólo a esos, para que se consideren pertenecientes al mismo. Te invito a estar pendiente ya que precisamente éste es el próximo tema que abordaré en relación a la teoría de conjuntos.

5.-    Ejercicios 

1.- Sean A ={1,2,3,4};          B ={2,4,6,8};          C ={3,4,5,6}

Hallar a).- A U B; b).- A U C; c).- B U C; d).- B U B

Solución:

A U B = {1,2,3,4,6,8}

A U C = {1,2,3,4,5,6}

B U C = {2,4,6,3,5}

B U B = {2,4,6,8}

2.- Dado el conjunto A = {6,2,8,4,3} encontrar todos los subconjuntos de A que se puedan construir con sus elementos, es decir el conjunto potencia.

2^A ={ {6},{2},{8},{4},{3},{6,2},{6,8},{6,4},{6,3},{2,8},{2,4},{2,3},{8,4},{8,3},{4,3},

{6,2,8},{6,2,4},{6,2,3},{6,8,4},{6,8,3},{6,4,3},{2,8,4},{2,8,3},{2,4,3},{8,4,3},{6,2,8,4},{6,2,8,3},

{2,8,4,3,},{6,8,4,3,},{6,2,4,3,},{6,2,8,4,3},{ }}

6.-  Leyes de operaciones con conjuntos 

Existen varias operaciones básicas que pueden realizarse para, partiendo de ciertos conjuntos dados, obtener nuevos conjuntos:

• Unión: (símbolo ∪) La unión de dos conjuntos A y B, que se representa como A ∪ B, es el conjunto de todos los elementos que pertenecen al menos a uno de los conjuntos A y B.

• Intersección: (símbolo ∩) La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∩ B de los elementos comunes a A yB.

• Diferencia: (símbolo \) La diferencia del conjunto A con B es el conjunto A \ B que resulta de eliminar de A cualquier elemento que esté en B.

• Complemento: El complemento de un conjunto A es el conjunto A^∁ que contiene todos los elementos que no pertenecen a A, respecto a un conjunto U que lo contiene.

• Diferencia simétrica: (símbolo Δ) La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B es el conjunto A Δ B con todos los elementos que pertenecen, o bien a A, o bien a B, pero no a ambos a la vez.

• Producto cartesiano: (símbolo ×) El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el conjunto A × B de todos los pares ordenados (a, b) formados con un primer elemento a perteneciente a A, y un segundo elemento b perteneciente a B.

• {1, a, 0} ∪ {2, b} = {2, b, 1, a, 0}

• {5, z, ♠} ∩ {♠, a} = {♠}

• {5, z, ♠} \ {♠, a} = {5, z}

• {♠, 5} Δ {8, #, ♠} = {5, #, 8}

• {1, a, 0} × {2, b} = {(1, 2), (1, b), (a, 2), (a, b), (0, 2), (0, b)}

8.-   Cardinalidad y propiedades

El cardinal de un conjunto es el numero de elementos que pertenecen a dicho conjunto, se denotan card(A), por tanto Card(a)=26 donde A consta de las letrs del alfabeto y Card(D)=7 donde d comprende los dias de la semana.

1.       A=B ↔ Card(A)=Card(B)	2.   Card(AUB) =         Card(A) + Card(B) - Card(A∩B)
3.       Card(Φ) =0	4.    Card(A’) = Card(U) - Card(A)
5.       Card(A-B) = Card(A) - Card(B)	6.    Card(AΔB) =         Card(A) + Card(B) - 2 Card(A∩B)
7.       Card(A’ UB’)= Card(U)- Card(A∩B)	8.   Card(AUB’) =          Card(U)+ Card(A∩B)- Card(B’)
9.       Card(AUBUC) = Card(A) + Card(B) + Card(C) - Card(A∩B) - Card(A∩C) -                     Card(B∩C) +  Card(A∩B∩C)

TEMA # 1

TEMA#1 Lógica Matemática

 

MATERIA:                           ESTRUCTURAS DISCRETAS

DOCENTE:                          

ESTUDIANTE:                    JAIME JUNIOR AGUILAR  LEAÑOS 

CARRERA:                           ING. DE SISTEMAS

TURNO:                               MAÑANA

TEMARIO

UNIDAD I

TEMA:  LOGICA MATEMATICA

1.-Introducción

2.- Proposición

3.- Notación

4.- Conectivos Lógicos

5.- Operaciones Proposicionales

6.- Formulas Proposicionales

6.1.- Clasificación de las Formulas Proposicionales

6.2 Contradicción de tablas de verdad

7.-Álgebra de Proposiciones 

7.1.-Leyes Lógicas

7,2.-Simplificación de Formulas Proposicionales  

8.- Circuitos Lógicos

9.- Funciones proposicionales y cuantificadores

9.1.-Cuantificadores 

UNIDAD I                LÓGICA MATEMÁTICA

1.-Introducción:

La lógica es una disciplina que trata de los métodos, modos formas del razonamiento humano, ofreciendo reglas y técnicas para determinar si un argumento es válido o no; Una de las metas fundamentales de la lógica es eliminar las ambigüedades del lenguaje común introduciendo símbolos o conectivos lógicos  en la construcción de proposiciones.

Lógica = Analizar el comportamiento humano.

Ambigüedades  =  los elementos que no están definidos claramente.

2.- Proposición:

Es todo enunciado u oración respecto de la cual se puede decir si es verdadero o falso, pero no ambos a la vez, es decir que toda proposición tienes los valores de verdad 1 verdadero u el otro falso.

a)      Los siguientes enunciados son proposiciones:

“Carlos estudia estructuras discretas el mes de abril”                           V

“El cuadrado tiene 3 lados”                                                                               F

“Un partido de futbol dura 90 minutos”                                                      V

“Los gatos ladran”                                                                                                 F

“15 es múltiplo de 3”                                                                                           V

“ ≥2 “                                                                                                     F

Los siguientes enunciados no son proposiciones:

Todos los que son interrogación o admiración, no son proposiciones:

“Viva Bolivia!!!”

“¿Hola como estas?”

“2 – 4+5”

3.- Notación:

Las proposiciones simples o numéricas se acostumbran a demostrar con letras minúsculas del alfabeto.

p, q, r, s, t…etc.

Ejemplo:

p: “El sol es cuadrado”

q: “El hombre es arquitecto de su propio destino”

r: “- 2 + 5 = 3”

s: “Los elefantes vuelan”

4.- Conectivos Lógicos:

Son símbolos que aparte de proposiciones simples nos permiten generar estas proposiciones simples o complejas.

Estos conectivos lógicos representan operaciones lógicas definidas.

CONECTIVOS	OPERACIÓN ASICIADA	SIGNIFICADO
˜	Negación	No p : no es cierto que p
˄	Conjunción	p˄ q
˅	Disyunción	p ˅ q (sentido inclusivo)
=>	Implicación (condicional)	Si p entonces q
<=>	Doble Implicación	p si y solo si q
v	Disyunción Exclusiva	P o q (sentido exclusivo)

5.- Operaciones Proposicionales:

Dada una  o más proposiciones cuyos valores de verdad se conoce, las operaciones proposicionales tratan de generar otras proposiciones para caracterizar las proposiciones resultantes a través de su valor de verdad utilizando las siguientes operaciones lógicas.

a)      Negación: (~)

p	~p
V	F
F	V

Cuando la proposición simple de “p” es antecedido por la el símbolo de negación “˜”, su valor de verdad cambia al valor contrario.

b)      Conjunción  (˄  = n)

P	q	p ˄  q
V	F	V
V	V	F
F	F	F
F	V	F

Regla.- La conjunción de 2 proposiciones es verdadera cuando ambos valores de verdad son verdades, en otro caso son falso.

c)       Disyunción:

P	q	p ˅ q
V	F	V
V	V	V
F	F	F
F	V	V

Regla.- La disyunción de 2 proposiciones es falsa cuando ambos valores de verdad son falso, en otro caso son verdaderos.

d)      Implicación:

p	q	p => q
V	F	V
V	V	F
F	F	V
F	V	V

Regla.- La implicación de 2 proposiciones es falsa cuando el antecedente es verdadero o y el consecuente es falso,en otro caso son verdaderos.

e)      Doble Implicación:

P	q	p <=> q
V	F	V
V	V	F
F	F	F
F	V	V

Regla.- La doble implicación de 2 proposiciones es verdadera cuando ambos valores de verdad son iguales,en otro caso es falso.

f)       Disyunción Exclusiva:

P	q	p v q
V	F	F
V	V	V
F	F	V
F	V	F

Regla.- La disyunción exclusiva de 2 proposiciones es verdadera cuando ambos valores de verdad son diferentes,en otro caso es falso.

6.- Formulas Proposicionales:

Es una combinación de proposiciones y conectivos lógicos que simbolizan a una proposición compuesta.

Ejemplo:

˜p =>q           ; ˜ (˜r v t) <=> ˜p                ;( ˜q ^ r) =>[(p v s) v (t <=>q)]

a)      ”Si la planta no crece, entonces necesita mas agua o necesita mejor abono”

˜p: “La planta no crece”

q: “La planta necesita más agua”

r: “La planta necesita mejor abono”

˜p=> (q v r)

b)      “La decisión depende del juicio o la intuición, y no de quien pago más”

p: “La decisión depende del juicio”

q: “La decisión depende de la intuición”

r: “La decisión depende de quién pago más”

(p v q) ^ ˜ r

c)       “21 es divisible entre 3 y por 7, pero no por 5”

p: “21 es divisible entre 3”

q: “21 es divisible entre 7”

r: “21 es divisible entre 5”

(p ^ q)^˜ r

6.1.- Clasificación de las Formulas Proposicionales”

Las formulas proposicionales se dividen según sus valores en:

a)      Tautología:

Se presenta cuando todos los valores de verdad resultante son verdaderas.

b)      Contradicción:

Se presenta cuando todos los valores de verdad resultante son falsos, se reconoce también como anti-tautología.

c)       Contingencia:

Se presenta cuando todos los valores de verdad resultante son verdaderos y falsos.

6.2 Contradicción de tablas de verdad.

Se deben analizar todas las posibles combinaciones de valores de verdad de las proposiciones que conforman la formula proposicional; para determinar dichas combinaciones se utiliza las siguientes formula de recurrencia.

2^n = Numero de combinaciones diferente del valor de verdad.

n = Numero de proposiciones simples diferentes.

Ejemplo: Clasifique mediante tablas de verdad, las siguientes formulas proposicionales.

1).- [˜q^( ˜P=>Q)]=>P

p	q	[˜q^( ˜P=>Q)]=>P
V	F	F	F	F	V	V	V	V
V	V	V	V	F	V	F	V	V
F	F	F	F	V	V	V	V	F
F	V	V	F	V	F	F	V	F

RESULTADO: TAUTOLOGIA.

2).-˜(p v q) <=> (˜ p => q)

p	q	˜(p v q) <=> (˜ p => q)
V	F	F	F	V	V	F	V	V
V	V	F	V	V	V	F	V	F
F	F	F	F	V	V	F	V	V
F	V	V	F	F	F	F	F	F

RESULTADO: CONTRADICCION.

3).-[q =>(r^ ˜q) <=>[(q v ˜p) => r]

p

q

r

˜(p v q) <=> (˜ p => q)

V

V

V

V

F

V

F

F

V

V

V

F

V

V

V

V

F

V

F

F

F

F

F

V

V

F

F

F

V

F

V

F

V

V

V

V

F

F

F

F

V

V

V

F

F

F

V

F

F

V

F

F

F

F

V

F

F

V

V

V

F

V

F

F

V

V

V

V

V

V

F

V

F

V

F

F

F

F

F

V

V

V

F

F

F

F

V

F

V

V

V

V

F

F

V

V

V

V

F

F

F

F

V

F

F

V

V

F

V

V

F

F

RESULTADO: CONTINGENCIA.

4).- Son p y r, proposiciones con valores de verdad f y v respectivamente; q y s proposiciones y tales que la formula proposicional ˜ (˜q ^ s) es falsa. Con esta información determine el valor de verdad de las siguientes formulas proposicionales:

[(p ^ ˜q) ^ s] => ˜ (˜r v s)

Solución:

˜ (˜q ^ s) = F                                                                     [(F ^ V) ^ V] =>˜(F v V)

(˜q ^ s)  = V                                                                      (F ^ V) =>˜ V

˜q  = V                                                                               F  =>  F

s  =  V                                                                                  V

5)- Son q y r proposiciones con valores de verdad F,  F, p y s proposiciones tales que la formula proposicional ˜ (p v ˜s) = V; Determine el valor de verdad de la formula proposicional.

Datos:

q = F                                     [F  =>(F ^ V) v (V => F)

r = F

(p ^ s) =˜ (p v ˜s) = V

˜ (p v ˜s) = V

p = F

˜s = F

6).- Determinar el valor de verdad d las proposiciones p, q, r, s, sabiendo que:

a)      La fórmula proposicional es falso: ˜(r =>˜p) =>( ˜q v s) = F

b)      La fórmula proposicional es verdadero: ˜(p v ˜r) ^ ˜(q =>˜ s) = V

a)      ˜(r =>˜p) =>( ˜q v s) = F

V                         F

˜(r =>˜p)  = V

˜q v s = F

r = V

˜p = F

˜q = F

S = F

Entonces:

p = V;                   q = V;                   r = V;                    s = F;

b)      ˜(p v ˜r) ^ ˜ (q => ˜s) = V

˜(p v ˜r) = V

 7.-Álgebra de Proposiciones

Son operaciones lógicas que se realizan en una formula proposicional, aplicando adecuadamente ciertas reglas básicas llamadas leyes lógicas. Es decir, al igual que en álgebra básica donde la simplificación de expresiones algebraicas es muy importante, en lógica también existe la necesidad de simplificar formulas proposicionales complejas , a través de ciertas equivalencias llamadas leyes lógicas.

7.1.-Leyes Lógicas

Son formulas proposicionales lógicamente equivalente, estas son :

1) Leyes de idempotencia:              p ^ p = p ;  p v p = p 

2)Leyes de conmutativas:               p ^ q = q v p :   pv q = q v p 

3)Leyes asociativas:                      (p ^q)v r =p^(q ^ r)

                                                       (p v q) v r = p v (q v r) 

4)Leyes de negación:                     ˜(˜ p) = p 

                                                      p^ ˜ p  = F    ;   p v ˜ p = V 

5)Leyes de identidad:                     p ^ V = p     ; p v F = p 

6)Leyes de De Morgan:                 ˜(p ^ q) = ˜p v ˜q 

                                                      ˜(p v q) = ˜p ^ ˜q 

7)Leyes distributivas                      p ^ (q v r) = (p ^ q) v (p ^ r)  

                                                       p v (q ^ r) = (p v q) v (p v r)  

8)Definición de implicación :         p > q = ˜ p v q 


9)Leyes de absorción                   p ^ (p v q)= p ; p v (p ^ q) = p 
                                                     p ^ F = F ; p V = V 

10)Definición de doble implicación:     p <> q = (p > q) ^ (q >  p) 

7.2.- Simplificación de Formulas proposicionales 

La simplificación de una proposición, o dicho de otra manera, la simplificación de una expresión lógica consiste en reducir la expresión lógica a una forma más simple mediante el uso de los axiomas y/o leyes lógicas.

La simplificación consiste en ir desarrollando la expresión paso a paso mediante la sustitución en cada paso de una expresión lógica equivalente a la anterior, hasta llegar a una expresión lógica irreducible.

A través de la simplificación podemos también demostrar una equivalencia lógica sin usar tablas de verdad.

Simplificar

[~(p Ú q) Ú (~p Ù q)] ® (~p Ù q           Ley de Morgan

[(~p Ù ~q) Ú (~p Ù q)] ® (~p Ù q)       Distributiva

[~p Ù (~q Ú q)] ® (~p Ù q)                  Complemento

(~p Ù V) ® (~p Ù q)                            Forma Normal

~p ® (~p Ù q)                                     Condicional 

~ (~p) Ú (~p Ù q)                                 Doble negación   

p Ú (~p Ù q)                                         Distributiva

(p Ú ~p) Ù (p Ú q)                                Complemento

V Ù (p Ú q)                                          Forma Normal       

p Ú q                                                   

. 

8.- Circuitos Lógicos: 

Un circuito lógico es una red de conmutación que está formada por cables e interruptores que conectan 2 terminales entre si.

Si una red de conmutación asociamos a un circuito lógico; entonces tenemos:

A————–.—.———-B

A————–./  .———–B

8.2.- Circuitos lógicos:

Se tienen 2 tipos de circuitos básicos:

a)      Circuito en serie:

Un circuito representado en serie representa a la operación lógica de conjunción es decir:

q

p

A———-.∕    .———–.∕   .———>B = p ^ q

b)      Circuito en paralelo:

Un circuito representado en paralelo representa a la operación lógica de disyunción es decir:

|——p.∕   .——-|

A —|                              |—-B = p v q

|——-q.∕  .——|

Ejemplo:

1.- Representar por medio de circuitos lógicos las siguientes formulas proposicionales:

a): q  p

b): p óq

c): p v q

2.- Dada la formula proposicional siguiente, represente el circuito lógico correspondiente y simplifique la formula proposicional.

{[p ^(q v r)] v (p ^ ˜r)} ^ (˜p v ˜q)

9.-Funciones proposicionales y cuantificadores

Una función Proposicional en una variable X es toda expresión  en la que X representa al sujeto o objeto perteneciente a cierto conjunto. La cual se convierte en proposición  para cada especifican de X. Es decir, si P(X) es una expresión que se convierte en proposición al sustituir la variable X por objeto matemático, se dice que P es una función proposiciones.

Supongamos los enunciados abiertos: 

" x es la capital de Buenos Aires"

" y + 4 = 11"

Estos no tienen un valor veritativo. Pero si en el primero de ellos hacemos x = La Plata, tenemos:

"La Plata es la capital de Buenos Aires" (V)

Asimismo, si en el segundo hacemos x = 9, resulta:  9 + 4 = 11 (F)

Podemos, entonces, dar la siguiente definición: "Una función proposicional es un enunciado abierto de la forma P_(x) que se convierte en una proposición cuando se le asigna un valor específico a la variable".

Ejemplos:

p_(x) : 2x + 5 > 11 , si x = 4 \ 13 > 11 (Verdadero)

q_(x) : 3x + 7 = 11 , si x = 5 \ 22 = 16 (Falso)

r_(x) : 2x + 1 = 5 , si x = 2 \ 5 = 5 (Verdadero)

s_(x) : x es un animal, si x = mesa se tendrá : mesa es un animal (Falso)

t_(x) : x es un ave, si x = flamenco se tiene: el flamenco es un ave (Verdadero)

9.1.-Cuantificadores

A partir de funciones proposicionales es posible obtener proposiciones generales mediante un proceso llamado de cuantificación. Asociados a la indeterminada x, introducimos los símbolos " x y $ x, llamados cuantificador universal y cuantificador existencial respectivamente. Las expresiones

Para todo x, se verifica p_(x) se denota por " x : p_(x)

Existe x, tal que se verifica p_(x) se denota por $ x / p_(x)

Corresponden a una función proposicional p_(x) cuantificada universalmente en el primer caso, y existencial mente en el segundo.

Ejemplo: Una función proposicional cuantificada universalmente es V si y sólo si son V todas las proposiciones particulares asociadas a aquella. Para asegurar la verdad de una proposición cuantificada universalmente es suficiente que sea verdadera alguna de las proposiciones asociadas a la función proposicional.

Un problema de interés es la negación de funciones proposicionales cuantificadas. Por ejemplo, La negación de "Todos los enteros son impares" es "Existen enteros que no son impares"   y en símbolos: $ x / ~ p_(x)

Entonces, para negar una función proposicional cuantificada universalmente se cambia el cuantificador en existencial, y se niega la función proposicional.

Ejemplo:  Supongamos la proposición: Todos los alumnos de mi colegio son aplicados

La vamos a escribir en lenguaje simbólico, negarla y retraducir la negación al lenguaje ordinario.

Nos damos cuenta pronto que se trata de la implicación de dos funciones proposicionales:

p_(x) : es alumno de mi colegio

q_(x) : es aplicado

Tenemos:  " x : p_(x) Þ q_(x)

Teniendo en cuenta la forma de negar una función proposicional cuantificada universalmente y una implicación resulta:

$ x / p_(x) Ù ~ q_(x)