TEMA #3

TEMA #3

  TEMA#3

                 TEORÍA DE CONJUNTOS

 MATERIA:                           ESTRUCTURAS DISCRETAS

DOCENTE:                          

ESTUDIANTE:                    JAIME JUNIOR AGUILAR  LEAÑOS 

CARRERA:                           ING. DE SISTEMAS

TURNO:                               MAÑANA

TEMARIO

UNIDAD III

TEMA:  RELACIONES 

1.-Introducción 

2.- Relaciones 

2.1.- Dominio, Imagen Relación inversa 

2.2.- Dominio R 

2.3.-Imagen R 

3.- Relación Inversa 

4.-  Propiedades de la Relación 

4.1.- Propiedad Reflexiva 

4.2.- Relación Simétrica 

4.3.- Relación Transitiva 

5.- Relación de Equivalencia 

1.- Introducción 

Nos proponesmos a precisar en términos matemáticos el concepto y la definición de la relación.

2.- Relaciones 

En la matemática,como en otras ciencias, constantemente se habla de diversas relaciones entre 2 objetos; en geometría se trata de relaciones de congruencia y de semejanza; en álgebra, de relaciones de igualdad o desigualdad numérica; en teoría de conjuntos, de relaciones de pertenencia y de inclusión. 

Consideramos A de las materias que puede cursar un estudiante en un semestre, y el conjunto B formado por los créditos de las materias sin laboratorio, es ddecir: 

               A={a,b,c,d,e } y  B={4,5,6,7}

Es claro que los elementos de A quedan asociados con los del conjunto B mediante la propiedad      P(x,y) : "x tiene crédito 

Mediante diagrama de (venn) 

           a                                4

           b                                5          

           c                                6

           d                                7

           e                  

Entonces la relación o correspondencia es el conjunto de pares ondenados 

          R={(a,6),(b,5),(c,5),(e,7)

2.1  Dominio,Imagen,Relación Inversa 

Si R《 AxB es una relación de A en B, existen dos importantes conjuntos asociados a esta relacion:dominio e imagen de R .

2.2.- Dominio de R

El dominio de R, que se describe D(R),es el conjunto de elementos en A que están relacionados con algún elemento en B.

2.3.- Imagen de R

El imagen (rango o recorrido) de R, que se describe I(R) es el conjunto de elementos en B que son los segundos elementos de los pares (x,y) € R ,

3.- Relación Inversa

La inversa (recíproca)de la relación R de A en B es la relacion "R-1 de B en A.

Relación unaria

Una relación unaria se da cuando se observa un solo conjunto, y la misma puede definirse como el subconjunto de los elementos que pertenecen al mismo y cumplen una condición determinada, expresada en la relación. Por ejemplo, dentro del conjunto de números naturales, podemos definir una relación unaria (a la cual llamaremos P) de los números pares, de manera que de todos los elementos de este conjunto, tomaremos aquéllos que respondan a dicha condición y formaremos un subconjunto, el cual comienza de la siguiente manera: P = {2,4,6,8,…}

Relación binaria

Como su nombre lo indica, esta relación matemática parte de dos conjuntos, y por lo tanto la complejidad aumenta considerablemente. Los elementos de ambos pueden relacionarse de más formas, y los subconjuntos resultantes se expresan como pares ordenados, tal como se demuestra en párrafos anteriores. En las matemáticas, esto suele estar de fondo en muchas de las funciones más comunes, que tienen como variables y y x, ya que se busca un par de valores (uno de cada eje) que permitan resolver una ecuación (que cumplan la condición).

Relación ternaria

Cuando definimos una condición que deben cumplir elementos de tres conjuntos diferentes, hablamos de relación ternaria, y el resultado es una o más ternas (el equivalente a los pares ordenados pero con tres elementos). Retomando el conjunto de números naturales, que nos permite hacer cálculos sencillos, un ejemplo de relación matemática de este tipo es aquélla en la cual a – b = c, de manera que podríamos obtener un subconjunto que comienza así: R = {(3,2,1), (4,3,1), (5,3,2), …}

4.- Propiedades de la Composición de relaciones

Son: las siguientes

4.1.- Relaciones Reflexivas

Una relación R es un conjunto A se denomina reflexiva si cada elemento X de A esta relacionado consigo mismo

4.2.- Relaciones Simétricas

Una relación R es un conjunto A es Simétrica si cualquiera que sea el par (x,y) que pertenece ala relación, entonces el par (y,x) tambien pertenece .

4.3.- Relaciones Transitivas

Una relación R, es un conjunto A,es transitiva si, cualquiera que sea los pares (x,y) y (y,z) que pertenecen a la relación,entonces el par ordenado (x,z) también pertenece a ella.

5.- Relaciones De Equivalencia

Una relación binaria R, es un conjunto A, es de equivalencia si es reflexiva simétrica y transitiva